微分幾何学 I
理工学研究科
微分幾何学 II
————–
Morse 理論と
その部分多様体への応用
田崎博之
1998年度前期
目 次
1 Morse理論 1
1.1 多様体論からの準備 . . . . 1
1.2 代数的位相幾何学からの準備 . . . . 8
1.3 関数の特異値とホモトピー型 . . . . 16
1.4 Morseの不等式 . . . . 20
1.5 例 . . . . 26
2 Riemann部分多様体 31 2.1 第二基本形式と法接続 . . . . 31
2.2 基本的な方程式 . . . . 34
2.3 Gauss曲率とその一般化 . . . . 38
3 Chern-Lashofの定理 40 3.1 Riemann多様体上の積分 . . . . 40
3.2 Γ関数 . . . . 47
3.3 全曲率 . . . . 50
3.4 Chern-Lashofの定理 . . . . 57
4 最小全曲率と凸超曲面 61 4.1 最小全曲率 . . . . 61
4.2 凸集合 . . . . 67
4.3 凸集合の位相 . . . . 75
4.4 凸集合と超平面 . . . . 81
4.5 凸包 . . . . 85
4.6 凸超曲面 . . . . 89
i
この講義では、断らない限り可算開基を持つC∞級多様体を単に多様体と呼ぶことにす る。特に、多様体上にはいつでもRiemann計量をとることができる。この章では、多様体 上定義されたC∞級関数の挙動と多様体の位相の間の関係を記述するMorse理論の解説を する。
1.1
多様体論からの準備
定義 1.1.1 多様体Mの点pにおける接ベクトル空間をTpMで表し、多様体間のC∞級写 像F :M →Nのpでの微分写像をdFp :TpM →TF(p)Nで表す。
f :M →Rを多様体M上のC∞級関数とする。fのp∈Mにおける微分写像dfp :TpM → Tf(p)R = Rが0になるとき、pを fの特異点と呼ぶ。また、実数f(p)を fの特異値と呼 ぶ。すなわち、実数aがfの特異値であるとは、fの特異点pが存在しa=f(p)となるこ とである。
注意 1.1.2 多様体M上のC∞級関数f :M →Rを考える。p∈Mのまわりの局所座標系 (x1,. . ., xn)をとると、
dfp =
Xn i=1
∂f
∂xi(p)dxip
と表せ、dx1p,. . ., dxnpは余接ベクトル空間Tp∗M (TpMの双対空間)の基底になるので、pが fの特異点であるための必要十分条件は、
∂f
∂x1(p) =· · ·= ∂f
∂xn(p) = 0 が成り立つことである。
注意 1.1.3 多様体M上のC∞級関数f :M →Rが定まっているとき、実数aに対して Ma={x∈M |f(x)≤a}
とおく。aがfの特異値ではないとき、f(x) = aとなる任意のx∈Mに対して、dfx :TxM → Rは全射になるので、陰関数定理より、f−1(a)はMの部分多様体になる。よって、Maは 部分多様体を境界として持つ境界付き多様体になる。
1
補題 1.1.4 多様体M上のC∞級関数f : M → Rが特異点p ∈ Mを持っていると仮定す る。接ベクトルX, Y ∈TpMをpのまわりのベクトル場X,˜ Y˜に拡張し、
(∇2f)p(X, Y) = ( ˜XY f˜ )(p)
によって(∇2f)p(X, Y)を定めると、これはX, Yの拡張のとり方によらずに定まり、
(∇2f)p :TpM×TpM →R は対称二次形式になる。
証明 まず、
( ˜XY f˜ )(p) = ˜Xp( ˜Y f) = X( ˜Y f) だから、これはXの拡張のとり方には依存しない。
( ˜XY f˜ )(p)−( ˜YXf)(p) = ([ ˜˜ X,Y˜]f)(p) =dfp([ ˜X,Y˜]) = 0
より(∇2f)pの対称性がわかる。さらに、対称性より( ˜XY f˜ )(p)はYの拡張のとり方にも依 存しないことがわかる。
定義 1.1.5 点p ∈Mを多様体M上のC∞級関数f : M → Rの特異点とする。補題1.1.4 の(∇2f)pをfのpにおけるHessianと呼ぶ。(∇2f)pが非退化のとき、pをfの非退化特異 点と呼ぶ。
注意 1.1.6 多様体M上のC∞級関数f :M →Rが特異点p∈Mを持つと仮定する。pの まわりの局所座標系(x1,. . ., xn)をとると、注意1.1.2より、
∂f
∂x1(p) =· · ·= ∂f
∂xn(p) = 0 が成り立つ。接ベクトルX, Y ∈TpMを
X =
Xn i=1
Xi ∂
∂xi
¯¯
¯¯
¯p, Y =
Xn i=1
Yi ∂
∂xi
¯¯
¯¯
¯p
と表す。Yをpのまわりのベクトル場に拡張したものを Y˜ =
Xn i=1
Y˜i ∂
∂xi で表す。このとき、
(∇2f)p(X, Y) = X( ˜Y f) =
Xn i=1
Xi ∂
∂xi
¯¯
¯¯
¯p Xn j=1
Y˜j ∂f
∂xj =
Xn i,j=1
XiYj ∂2f
∂xi∂xj(p).
これより、行列
"
∂2f
∂xi∂xj(p)
#
は、基底 ∂
∂x1
¯¯
¯¯
¯p,. . ., ∂
∂xn
¯¯
¯¯
¯p に関する(∇2f)pの表現行列になる。
したがって、pがfの非退化特異点になるための必要十分条件は、行列
"
∂2f
∂xi∂xj(p)
#
が非退 化行列になることである。
定義 1.1.7 実ベクトル空間V上の対称二次形式H :V ×V →Rに対して、Hを制限する と負定値になる部分ベクトル空間の次元の最大値をHの指数と呼び、index(H)で表す。H の零化部分ベクトル空間
V0 ={v ∈V |H(v, w) = 0 (∀w∈V)} の次元をHのnullityと呼び、nullity(H)で表す。
多様体M上のC∞級関数f : M → Rの特異点 pにおける fの Hessian(∇2f)pの指数と nullityを単にfのpにおける指数とnullityと呼ぶことにする。
補題 1.1.8 実ベクトル空間V上の対称二次形式HをVの基底v1,. . ., vnにより対角化した とき、Hの指数は負の対角成分の個数に一致する。
証明 Vの基底v1,. . ., vnの内で、必要ならばこれらを並べ換えることにより、負の対角 成分に対応する元をv1,. . ., vλとし、0以上の対角成分に対応する元をvλ+1,. . ., vnとする ことができる。v1,. . ., vλの張る部分ベクトル空間をV1で表し、vλ+1,. . ., vnの張る部分ベク トル空間をV2で表すと、VはV1とV2の直和になる。HをV1に制限すると負定値になるの で、Hの指数はλ以上になる。もしHを制限して負定値になり次元がλより大きい部分ベク トル空間Wが存在すると仮定すると、
dim(W ∩V2) = dimW + dimV2−n≥(λ+ 1) + (n−λ)−n ≥1.
よって、0ではないv ∈W∩V2をとることができ、v ∈V2よりH(v, v)≥0であるが、v ∈W よりH(v, v)<0となり、矛盾。したがって、Hの指数はλに一致する。
補題 1.1.9 fをRnの原点0を含む凸開集合 V上で定義されたC∞級関数とする。このと き、V上定義されたC∞級関数gi (1≤i≤n)が存在し、
f(x) =f(0) +
Xn i=1
xigi(x) (x= (x1,. . ., xn)∈V) gi(0) = ∂f
∂xi(0) を満たす。
証明 x∈Vに対してtx∈V (t ∈[0,1])であり、
f(x)−f(0) =
Z 1
0
d
dtf(tx)dt
=
Z 1
0
Xn i=1
∂f
∂xi(tx)xidt
=
Xn i=1
xi
ÃZ 1 0
∂f
∂xi(tx)dt
!
.
そこで、gi(x) =
Z 1
0
∂f
∂xi(tx)dt とおけばよい。
補題 1.1.10 (Morse) 多様体M上のC∞級関数f :M →Rが非退化特異点p∈Mを持つ と仮定する。このとき、pのまわりの局所座標系(x1,. . ., xn)が存在し、
f(x) =f(p)−(x1)2− · · · −(xλ)2+ (xλ+1)2+· · ·+ (xn)2 が成り立ち、λはfのpにおける指数に一致する。
証明 まず、pのまわりの局所座標系(x1,. . ., xn)が存在し、
f(x) =f(p)−(x1)2− · · · −(xλ)2+ (xλ+1)2+· · ·+ (xn)2 となるとき、λはfのpにおける指数に一致することを示す。この表示より、
∂2f
∂xi∂xj(p) =
−2 (i=j ≤λ) 2 (i=j > λ) 0 (他の場合) を得る。よって、fのpにおけるHessian (∇2f)pの ∂
∂x1
¯¯
¯¯
¯p,. . ., ∂
∂xn
¯¯
¯¯
¯p に関する表現行列は、
−2 . ..
−2 2
. ..
2
よって、補題1.1.8より、Rnは(∇2f)pの指数はλに一致する。
次に補題の局所座標系の存在を示す。p のまわりの局所座標系 (y1,. . ., yn) で yj(p) = 0 (1≤j ≤n)を満たすものをとると、補題1.1.9より、
f(y) =f(p) +
Xn j=1
yjgj(y), gj(0) = ∂f
∂yj(0) = 0 を満たすC∞級関数gjが存在する。各gjに再び補題1.1.9を適用すると、
gj(y) =
Xn i=1
yihij(y) を満たすC∞級関数hijが存在する。よって、
f(y) =f(p) +
Xn i,j=1
yiyjhij(y)
となる。
¯hij(y) = 1
2(hij +hji) とおくと、
f(y) =f(p) +
Xn i,j=1
yiyj¯hij(y), ¯hij(y) = ¯hji(y)
が成り立つので、hijを¯hijに置き換えることによって、hij =hjiが成り立つとしてよい。
以下では、
f(u) = f(p) + X
i≤r−1
±(ui)2+ X
r≤i,j
uiujHij(u), [Hij(u)]は対称行列 となるpを含む局所座標近傍(U1;u1,. . ., un)が存在することを仮定して、
f(v) =f(p) +X
i≤r
±(vi)2 + X
r+1≤i,j
vivjHij0 (u) [Hij0 (v)]は対称行列 となるpを含む局所座標近傍(U2;v1,. . ., vn)が存在することを示す。
"
∂2f
∂ui∂uj(0)
#
=
±2 . ..
±2
2Hrr(0) · · · 2Hrn(0) ... . .. ... 2Hnr(0) · · · 2Hnn(0)
となり、pはfの非退化特異点だから、Hij(0)がすべて 0になることはない。局所座標系 を線形変換することにより、Hrr(0) 6= 0とできる。よって、pのある開近傍U2 ⊂ U1が存 在し、Hrr(u)はU2上0にならない。そこで、
g(u) = q|Hrr(u)| (u∈U2)
とおくと、gはU2上のC∞級関数になる。このgを使って、新しい局所座標系v1,. . ., vnを 次のように定める。
vi =ui (i6=r) vr(u) = g(u)
ur+ X
r+1≤i
uiHir(u) Hrr(u)
.
ここで、
∂vr
∂ur(0) =g(0)6= 0
となるので、
det
"
∂vi
∂uj(0)
#
=g(0)6= 0.
逆関数定理より、pのある開近傍U3 ⊂U2上で、v1,. . ., vnは局所座標系になる。
±(vr)2 = Hrr(u)
ur+ X
r+1≤i
uiHir(u) Hrr(u)
2
= Hrr(u)
(ur)2+ 2ur X
r+1≤i
uiHir(u) Hrr(u) +
X
r+1≤i
uiHir(u) Hrr(u)
2
= (ur)2+ 2ur X
r+1≤i
uiHir(u) + X
r+1≤i,j
uiujHir(u)Hjr(u) Hrr(u) . これより、
f = f(p) + X
i≤r−1
±(ui)2+ X
r≤i,j
uiujHij(u)
= f(p) + X
i≤r−1
±(vi)2+ (ur)2Hrr(u) + 2 X
r+1≤i
uiurHir(u) + X
r+1≤i,j
uiujHij(u)
= f(p) +X
i≤r
±(vi)2+ X
r+1≤i,j
uiuj
Ã
Hij(u)−Hir(u)Hjr(u) Hrr(u)
!
. したがって、
f(v) = f(p) +X
i≤r
±(vi)2+ X
r+1≤i,j
vivjHij0 (v) となる。Hij0 (v)は
Hij(u)− Hir(u)Hjr(u) Hrr(u)
を座標変換し、行と列を一つずつ減らしただけなので、対称行列になる。
上のr = 1の場合の局所座標系の存在はすでに示したので、rに関する数学的帰納法に より、
f(x) = f(p) +
Xn i=1
±(xi)2 (x∈U) となるpを含む局所座標近傍(U;x1,. . ., xn)の存在がわかる。
系 1.1.11 多様体上のC∞級関数の非退化特異点は孤立する。
証明 補題1.1.10より、C∞級関数fは非退化特異点pの近傍で、
f(x) =f(p)−(x1)2− · · · −(xλ)2+ (xλ+1)2+· · ·+ (xn)2 と表せるので、この局所座標近傍内のfの特異点はpのみになる。
補題 1.1.12 多様体上Mのコンパクトな台を持つC∞級ベクトル場は、Mの微分同型の一 径数部分群を生成する。
証明 XをM上のコンパクトな台を持つC∞級ベクトル場とする。XがMの微分同型の 一径数部分群φtを生成するための条件は、
dφt(p)
dt =Xφt(p) (t∈R, p∈M) φ0(p) =p (p∈M)
が成り立つことである。Mの各点pで局所座標近傍をとり、局所座標によって上の条件を 書くと常微分方程式系になるので、常微分方程式の解の存在と一意性より、pの開近傍Up
と²p >0が存在し、
dφt(q)
dt =Xφt(q) (|t|< ²p, q∈Up) φ0(q) =q (q ∈Up)
の解が一意的に存在する。
{Up}p∈MはMの開被覆になり、Xの台はコンパクトだから、有限個の{Up1,. . ., Upk}で Xの台は被覆される。そこで、
²0 = min{²p1,. . ., ²pk}
とおく。Xの台に含まれていない点pに対しては、Xp = 0だから、任意のt∈Rについて φt(p) =pが成り立つ。Mの任意の点についても、|t|< ²0となるtについてφtの作用が定ま る。常微分方程式の解の一意性より、|s|,|t|,|s+t| < ²0となるs, tについてφs◦φt =φs+t が成り立つ。
以下で、任意のt∈Rに対してφtを定める。t ∈Rに対して t =k(²0/2) +r, k ∈Z, |r|< ²0/2 となるようにk, rをとる。k ≥0のときは、
φt=
z }|k {
φ²0/2◦ · · · ◦φ²0/2◦φr によってφtを定め、k < 0のときは、
φt =
−k
z }| {
φ−²0/2◦ · · · ◦φ−²0/2◦φr
によってφtを定める。これによって、すべてのtについてφtが定まり、φs◦φt=φs+t が成 り立つこともわかる。φtはMの微分同型の一径数部分群になり、φtの定め方から、Xはφt
を生成することもわかる。
注意 1.1.13 多様体MにRiemann計量h , iが存在する場合は、M上のC∞級関数fの微 分dfの双対ベクトル場をfの勾配ベクトル場と呼び、gradfで表す。すなわち、M上のベ
クトル場Xに対して、
hgradf, Xi=df(X)
となる。gradfの零点は、fの特異点に一致する。勾配ベクトル場gradfはfの一階微分を 表している。fの二階微分は、Riemann計量から定まる共変微分∇を使って、∇2fで表現 できる。M上のベクトル場X, Yに対して、
(∇f)(Y) = Y f
(∇2f)(X, Y) = X((∇f)(Y))−(∇f)(∇XY)
= XY f−(∇XY)f
となるので、fの特異点では、∇2fは定義1.1.5で定めたfのHessianに一致する。M全体 で定義される∇2fもfのHessianと呼ばれる。
1.2
代数的位相幾何学からの準備
定義 1.2.1 X, Yを位相空間とし、A ⊂Xとする。f, g :X →Yをf|A =g|Aを満たす連続 写像とする。次の条件(1)から(3)を満たす連続写像F :X×[0,1]→Yが存在するとき、
f ∼g relA
と書き、f, gはAを固定してホモトピックであるという。
(1) F(x,0) =f(x) (x∈X), (2) F(x,1) =g(x) (x∈X),
(3) F(x, t) = f(x) = g(x) (x∈A, t∈[0,1]).
Aが空集合のときは、単にf ∼gと書く。
定義 1.2.2 位相空間の間の連続写像 f : X → Yに対してある連続写像f0 : Y → Xが存 在し
f0◦f ∼1X, f ◦f0 ∼1Y
を満たすとき、fをホモトピー同値と呼び、XとYはホモトピー同値である、または同じホ モトピー型を持つという。
定義 1.2.3 位相空間Xの部分集合Aに対して、連続写像F :X×[0,1]→Xが存在し、
(1) F(x,0) =x(x∈X)
(2) F(x, t) = x(x∈A, t ∈[0,1]) (3) F(x,1)∈A (x∈X)
を満たすとき、AをXの強変形レトラクトと呼ぶ。
注意 1.2.4 Aが Xの強変形レトラクトのとき、包含写像i : A → Xはホモトピー同値に なる。
定義 1.2.5 R1 ⊂R2 ⊂ · · · ⊂Rk ⊂ · · · ⊂R∞とみなして、
E0 = (0,. . .,0,. . .) E1 = (1,0,. . .,0,. . .) E2 = (0,1,0,. . .,0,. . .)
...
Eq = (0,. . .,0,
q
^1,0,. . .,0,. . .) ...
によって、E0, E1, E2,. . ., Eq,. . .を定める。E0,. . ., Eqの張るq次元単体を∆qで表す。すな わち、
∆q=
(
(t1,. . ., tq,0,. . .)
¯¯
¯¯
¯ti ≥0,
Xq i=1
ti ≤1
)
. q > 0に対してアファイン写像Fqi : ∆q−1 →∆qを
Fqi(Ej) =
( Ej (j < i) Ej+1 (j ≥i) によって定義する。
定義 1.2.6 Xを位相空間とする。連続写像σ : ∆q → XをXの特異q単体と呼ぶ。体Fを 一つとり、固定しておく。Xの特異q単体全体の生成するFベクトル空間をSq(X;F)で表 し、Sq(X;F)の元を特異q鎖と呼ぶ。すなわち、Xの特異q鎖はX
σ
aσσと表せる。ここで、
aσは有限個のσを除いて0になる。
定義 1.2.7 Xを位相空間とする。Xの特異q単体σと0≤i≤qに対して σ(i) =σ◦Fqi : ∆q−1 →X
によって、Xの特異q−1単体σ(i)を定め、
∂(σ) =
Xq i=0
(−1)iσ(i)∈Sq−1(X;F)
